Ideale Punkte, Monaden und Nichtstandard-Methoden

Als eigenstandige Disziplin gibt es die Nichtstandard-Analysis etwa seit dem Jahre 1960. Inzwischen hat sie eine sturmische Entwicklung genommen, die sich keineswegs auf die Analysis be­ schrankte. Viele bekannte Namen sind mit ihr verbunden, doch erscheint es gerecht, den von Ab~aham ~ob~n~on besonders her­ vorzuheben. Er scheint nicht nur als erster die Moglichkeiten der mathematischen Logik erkannt zu haben, }1odelle der Analysis mit Infinitesimalien zu konstruieren, sondern er hat auch den weiteren Verlauf der Entwicklung in ganz ungewohnlicher Weise beeinfluf5t. Dieses Buch solI den Mathematiker (und nieht primar den Logi­ ker) in die Welt der Nichtstandard-Methoden einfuhren. Dabei werden zwei Aspekte unterschieden: Zum einen mochte man wis­ sen, wie diese Hethoden arbeiten und zum zweiten mochte man wissen, waJtum man so vorgehen darf. Das wie wird erst ein­ mal durch die Angabe eines Axiomensystems beschrieben, des sen dUrre Einfachheit im weiteren Verlaufe durch Beispiele und An­ wendungen mit Leben erfUllt wird. Das warum ist eine Frage der mathematischen Logik; sie wird im letzten Kapitel (IX) diskutiert und beantwortet. Ob und wann man sich hiermit be­ schaftigt, ist weitgehend Geschmackssache; urn Nichtstandard­ Analysis praktisch zu betreiben, ist die Kenntnis der modell­ theoretischen Methoden jedenfalls keine 8edingung (wie man auch nichts von der Konstruktion der reellen Zahlen wissen mue, urn Analysis zu treiben). An Axiomensystemen werden zwei verschiedene vorgestellt: Keis­ ler's Axiome fUr die elementare Analysis (Kar. II) und Nelson's Axiome fUr die gesamte Hengenlehre (Kap. IV).