Algebra

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt. Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten führen Schritt für Schritt an die Ergebnisse heran und können durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden. Die Autoren haben stets darauf geachtet, dass erst dann neue Begriffe und Konzepte eingeführt werden, wenn ein gewisses Vertrauen im Umgang mit den bis dahin entwickelten Begriffen und Konzepten besteht. Das Vorgehen wird stets motiviert, schwierige Sachverhalte werden ausführlich erklärt und an Beispielen erprobt. Der Leser erhält dadurch einen einfachen Zugang zu dem nicht ganz leichten Thema der Algebra.Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie. Auf der Website zum Buch stehen ausführliche Lösungsvorschläge zu den Aufgaben bereit. TOC:0 Vorbemerkungen.- 1 Halbgruppen.- 2 Gruppen.- 3 Untergruppen.- 4 Normalteiler und Faktorgruppen.- 5 Zyklische Gruppen.- 6 Direkte Produkte.- 7 Gruppenoperationen.- 8 Die Sätze von Sylow.- 9 Symmetrische und alternierende Gruppen.- 10 Isomorphiesätze.- 11 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen.- 12 Auflösbare Gruppen.- 13 Grundbegriffe der Ringtheorie.- 14 Polynomringe.- 15 Ideale.- 16 Teilbarkeit in Integritätsringen.- 17 Faktorielle Ringe.- 18 Hauptidealringe. Euklidische Ringe.- 19 Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe.- 20 Grundlagen der Körpertheorie.- 21 Einfache Körpererweiterungen.- 22 Algebraische Körpererweiterungen.- 23 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.- 24 Transzendente Körpererweiterungen.- 25 Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper.- 26 Separable Körpererweiterungen.- 27 Endliche Körper.- 28 Die Galoiskorrespondenz.- 29 Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung.- 30 Kreisteilungskörper.- 31 Zyklische Körpererweiterungen.- 32 Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale.- 33 Die allgemeine Gleichung.- A Transfinite Beweismethoden und Kardinalzahlen.