Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit

Der heutige Erkenntnistheoretiker kann an den Resultaten der logischen und mathematischen Grundlagenforschung nicht mehr vorbei­ gehen. Insbesondere sind viele der innerhalb der Metamathematik gewonnenen Ergebnisse von einer so außerordentlichen theoretischen Bedeutung und Tragweite, daß deren genaues Studium für jeden, der erkenntnistheoretische Untersuchungen betreiben will, welche auf der Höhe der Zeit stehen, ganz unerläßlich ist. Durch jene Ergebnisse ge­ winnen wir tiefste Einblicke in die Endlichkeit unseres Denkvermögens, in die Reichweite und die Grenzen des axiomatisch-deduktiven Vor­ gehens, in das Verhältnis zwischen formalen, kalkülmäßig aufgebauten logischen sowie mathematischen Systemen und dem nichtformalisierten intuitiven Schließen, in die Beziehung zwischen logischer und mathe­ matischer Wahrheit einerseits und Beweisbarkeit andererseits, in die Relation zwischen anfechtbaren, bedenklichen Schlußweisen der klassischen Logik und für unbedenklich gehaltenen Operationen, durch welche die ersteren nachträglich gerechtfertigt werden sollen. Bei ver­ schiedenen dieser Resultate wird von Überlegungen ausgegangen, die eine große Ähnlichkeit besitzen mit bereits von früher her bekannten philosophischen Gedankengängen, insbesondere solchen, die zur Konstruk­ tion von Paradoxien führten. Diese Paradoxien waren meist als mehr oder weniger unfruchtbare, mehr oder weniger sophistische gedankliche Spielereien aufgefaßt worden. Nun konnten aber bedeutende metalogische und metamathematische Resultate dadurch gewonnen werden, daß man an jenen zu Paradoxien führenden überlegungen gewisse Modifikationen vornahm, fehlerhafte Elemente ausschied und gültige Schlußfolgerungen präzisierte und in geschickter Weise auswertete. Dies gilt insbesondere für die Antinomie des Lügners von EpIMEN'IDES und das Paradoxon von RICHARD.