O Lema de Darboux

O artigo Mémoire sur les équations différentielles algébriques du premier ordre et du premier degré do matemático Jean Gaston Darboux, introduziu em 1878 uma nova maneira de se estudar os campos vetoriais polinomiais. Entre os vários resultados importantes neste artigo, temos o Lema de Darboux. Apresentamos neste texto duas demonstrações. A primeira segue as ideias de Darboux e é feita de uma maneira elementar, usando as propriedades do índice de interseção entre curvas algébricas planas. A segunda é um pouco mais sofisticada, pois utiliza sequências exatas e resultados sobre as dimensões dos espaços vetoriais que aparecem nestas sequências. Também ilustramos a utilidade do Lema de Darboux apresentando algumas aplicações. Mostramos, por exemplo, que uma solução algébrica não-linear e sem pontos múltiplos de um campo vetorial polinomial tem grau menor ou igual ao grau do campo mais um. Numa outra aplicação, provamos que um campo quadrático polinomial afim real não tem cúbicas como ciclos limites algébricos. Por fim, determinamos o número de singularidades, com as suas respectivas multiplicidades, de um campo vetorial homogêneo com uma quantidade finita de pontos singulares.